(ม.2) การหาค่ากำลังสองของจำนวนที่มีหลักหน่วยคือ 5

มีประโยชน์สำหรับการเดากำลังสองของจำนวนใดๆ ที่จะใช้บ่อยในเรื่อง ทฤษฏีบทพีทาโกรัส และการหาค่ารากที่สองที่เป็นจำนวนนับ

5²  =  5 x 5  =  25
15²  =  15 x 15  =  225....................................................[ 1 x 2 = 2 ]
25²  =  25 x 25  =  625....................................................[ 2 x 3 = 6 ]
35²  =  35 x 35  =  1225..................................................[ 3 x 4 = 12 ]
45²  =  45 x 45  =  2025..................................................[ 4 x 5 = 20 ]

     จากการสังเกตุ กำลังสองของจำนวนที่มีหลักหน่วยคือ 5 จะลงท้ายด้วย 25 เสมอ
     ส่วนจำนวนด้านหน้า 25 นั้นหาได้จาก นำจำนวนที่ยกกำลังสองหลักสิบขึ้นไป (ไม่รวม 5) คูณกับจำนวนถัดไป

เพราะฉะนั้น

55²  =  55 x 55  =  [เนื่องจาก 5 x 6 = 30 ] ดั้งนั้นคำตอบคือ 3025
65²  =  65 x 65  =  [เนื่องจาก 6 x 7 = 42 ] ดั้งนั้นคำตอบคือ 4225
75²  =  75 x 75  =  [เนื่องจาก 7 x 8 = 56 ] ดั้งนั้นคำตอบคือ 5625
85²  =  85 x 85  =  [เนื่องจาก 8 x 9 = 72 ] ดั้งนั้นคำตอบคือ 7225

ตัวเลขมากๆ ก็ทำได้นะ ลองผึกกันดู ตัวอย่างเช่น

145²  =  145 x 145  =  [เนื่องจาก 14 x 15 = 210 ] ดั้งนั้นคำตอบคือ 21025
385²  =  385 x 385  =  [เนื่องจาก 38 x 39 = 1482 ] ดั้งนั้นคำตอบคือ 148225

(ม.3) จำนวนที่มีสองหลักจำนวนหนึ่ง มีเลขโดดในหลักสิบมากกว่าเลขโดดในหลักหน่วยอยู่ 4 และผลบวกของจำนวนนี้กับจำนวนที่ได้จากการสลับที่เลขโดด เป็น 154 จงหาจำนวนนั้น

วิธีทำ      ให้ เลขโดดในหลักสิบ เป็น x

                ให้ เลขโดดในหลักหน่วย เป็น y

                เพราะฉะนั้น จำนวนนี้จะมีค่า = 10x+y     ,     และถ้าสลับที่เลขโดดจะมีค่า = 10y+x     

.

                เขียนสมการจากที่โจทย์กำหนดมาให้

                                เลขโดดในหลักสิบมากกว่าเลขโดดในหลักหน่วยอยู่ 4

                                                                   x–y = 4 __________ (1)

 .

ผลบวกของจำนวนนี้กับจำนวนที่ได้จากการสลับที่เลขโดด เป็น 154   

                (10x+y) + (10y+x) = 154

                             11x + 11y = 154

นำ 11 หารตลอดสมการ ;   

                                       x+y = 14 __________ (2)

.

                                นำ (1) + (2) ;

                                                 (x–y) + (x+y) = 4 + 14

                                                                    2x = 18

                                                                      x = 9

 .

                                นำ x = 9 แทนค่าใน (2) ;

                                                                 9+y = 14

                                                                     y = 14-9

                                                                      y = 5

 .

            ดังนั้น เลขโดดในหลักสิบคือ 9  เลขโดดในหลักหน่วยคือ 5  และจำนวนนี้มีค่า 95

 .

 .

ตรวจคำตอบ :       9-5 = 4

                               95+59 = 154

 .

 .

.

(ม.2) พ่อค้าติดราคาสินค้าไว้สูงกว่าทุน 20% เมื่อลดราคาให้ผู้ซื้อ 15% จะได้กำไรหรือขาดทุนกี่เปอร์เซ็นต์

(ม.2) .

วิธีทำ      ให้ราคาทุน = 100 บาท 
                                                                                                                                                     120                      v

               พ่อค้าติดราคาไว้สูงกว่าทุน 20% ดังนั้น พ่อค้าติดราคาไว้ 120% ของราคาทุน    -----  x 100 = 120 บาท

                                                                                                                                                      100

.

                                                                                                                                       85

                ลดราคาให้ผู้ซื้อ 15% ดังนั้น พ่อค้าขายให้ผู้ซื้อ 85% ของราคาที่ติดไว้   -----  x 120 = 102 บาท

                                                                                                                                      100 

.

                พ่อค้าขาย 102 บาท จากราคาทุน 100 บาท ดังนั้น พ่อค้าได้กำไร     102–100 = 2 บาท

.

                ซึ่งคิดเป็นกำไร 2 บาท (÷) จากทุน 100 บาท คิดเป็นเปอร์เซ็นต์ (x100) คือ

                                 2

                             ------  x 100 = 2%

                              100

                เพราะฉะนั้น พ่อค้าจะได้กำไร  2  เปอร์เซ็นต์     

.

.

หมายเหตุ สามารถกำหนดให้ราคาทุนเป็นจำนวนอื่นได้ มีคำตอบเท่ากัน แต่ถ้าให้ทุนเป็น 100 จะง่ายที่สุด เพราะเรื่องเปอร์เซ็นต์ จะเทียบกับ 100 เสมอ

.

.

.

(ม.2) นายดำ นายดู นายดี มีความสูงเป็นอัตราส่วนต่อกัน 3 : 2 : 4 ถ้าส่วนสูงของดำกับดูกับดี รวมกันเป็น 270 เซนติเมตร จงหาผลต่างความสูงของดำและดี

.

วิธีทำ      เขียนอัตราส่วนแบบแผนภาพ โดยเพิ่ม

                                ผลรวมอัตราส่วนความสูงของทั้งสาม คือ  3+2+4 = 9

                                ผลต่างอัตราส่วนความสูงของดำและดีคือ  ดี–ดำ = 4–3 = 1

 .

                                                ดำ      :     ดู     :     ดี      :    รวม    :   ผลต่าง ดี–ดำ

                                                  3      :      2     :      4      :       9      :          1

                                                3x30  :   2x30  :  4x30   :   9x30   :       1x30

                                                  90    :     60    :   120    :    270    :         30

 .

จากอัตราส่วนใดๆ เมื่อคูณอัตราส่วนนั้นด้วยจำนวนเดียวกัน (ที่ไม่ใช่ศูนย์) อัตราส่วนยังคงเท่ากับอัตราส่วนเดิม

จากอัตราส่วนผลรวมความสูงคือ 9 จะต้องขยายเป็นผลรวมความสูงจริงคือ 270 เซนติเมตร

                เพราะฉะนั้น ต้องขยายอัตราส่วนด้วยการคูณ 270÷9 = 30 ในทุกอัตราส่วนตามไปด้วย

 .

ผลต่างความสูงของดำและดีคือ 120–90 = 30 เซนติเมตร (หรือ ตอบโดยดูจากช่อง ผลต่าง ดี–ดำ)

 .

 .

วิธีทำ2    ให้ผลต่างความสูงของดำและดี = A เซนติเมตร

                จากอัตราส่วนของผลรวมความสูงของทั้งสาม  :  ผลต่างความสูงของดำและดี  คือ  9 : 1

 .

                                นำมาเขียนสมการแสดงสัดส่วนได้ว่า

                                                     ผลต่าง ดี–ดำ                  A                1

                                                 ---------------------     =     -------     =     ---

                                                   ผลรวมความสูง              270              9

.                                                                                                     

                                                                                                              1

                                                                                              A        =  ---  x 270

                                                                                                              9

.

                                                                                               A       =   30

ผลต่างความสูงของดำและดีคือ  30 เซนติเมตร

 .

 .

.

(ม.1) จำนวนที่มากที่สุดเมื่อนำไปหาร 116 , 162 และ 208 แล้วเหลือเศษเท่ากัน คือจำนวนใด

วิธีทำ      จำนวนทั้งสามจำนวนที่ถูกหารด้วยจำนวนเดียวกันแล้วเหลือเศษเท่ากัน โดยที่ไม่ทราบว่าเศษนั้นคือจำนวนใด

                ดังนั้น ให้กำจัดเศษเหล่านั้นทิ้งไป โดยการนำตัวเลขทั้งสาม มาหาผลต่างของตัวเลขทุกๆ จำนวน

                                จาก 116 และ 162 มีผลต่างกันคือ 162-116 = 46

                                จาก 116 และ 208 มีผลต่างกันคือ 208-116 = 92

                                จาก 162 และ 208 มีผลต่างกันคือ 208-162 = 46 

.

                นำ 46 , 46 และ 92 เป็นตัวแทนที่กำจัดเศษทิ้งแล้วไปหา ห.ร.ม. (46 ซ้ำกัน ใช้เพียงจำนวนดียว)

                                 2 ) 46  ,  92 .

                                23 ) 23  ,  46 .

                                          1  ,    2 .

                เพราะฉนั้น ห.ร.ม. ของ 468 และ 864 คือ  2x23 = 46

.

                ดังนั้น จำนวนที่มากที่สุดเมื่อนำไปหาร 116 , 162 และ 208 แล้วเหลือเศษเท่ากัน คือ 46

.

ตรวจคำตอบ         116÷46 = 2 เศษ 24

                                162÷46 = 3 เศษ 24

                                208÷46 = 4 เศษ 24

.

 .

 .

(ม.1) จำนวนที่มากที่สุดเมื่อนำไปหาร 470 จะเหลือเศษ 2 และหาร 865 จะเหลือเศษ 1 คือจำนวนใด

,"1.

วิธีทำ      ตีความจากโจทย์ ต้องการให้เราหา ห.ร.ม. แต่จะมีเศษเข้ามาเกี่ยวข้องด้วย

                ดังนั้น จะต้องหาให้ได้ว่า จำนวนที่มากที่สุดที่จะนำไปหารนั้น จะหารตัวเลขทั้งสองนี้ลงตัวที่ใด

                                จาก จำนวนที่หาร 470 แล้วเหลือเศษ 2

                                                แสดงว่า ถูกหารลงตัวที่ 470–2 = 468

                                จาก จำนวนที่หาร 865 แล้วเหลือเศษ 1

                                                แสดงว่า ถูกหารลงตัวที่ 865–1 = 864

.

                นำ 468 และ 864 มาหา ห.ร.ม.

                                 4 ) 468  ,  864 .

                                 3 ) 117  ,  216 .

                                 3 )   39  ,    72 .

                                         13  ,    24 .

                เพราะฉนั้น ห.ร.ม. ของ 468 และ 864 คือ  4x3x3 = 36

.

                ดังนั้น จำนวนที่มากที่สุดที่จะนำไปหาร 470 จะเหลือเศษ 2  และหาร  865 จะเหลือเศษ 1 คือ  36

.
 .

ตรวจคำตอบ         470÷36 = 13 เศษ 2

                                865÷36 = 24 เศษ 1

.
.

.

(ม.3) ผู้ใหญ่ 9 คน กับเด็ก 6 คน ทำงานอย่างหนึ่งแล้วเสร็จใน 2 ชั่วโมง แต่ถ้าผู้ใหญ่ 5 คน กับเด็ก 7 คน ทำงานนั้นจะแล้วเสร็จใน 3 ชั่วโมง จงหาว่าผู้ใหญ่ 2 คน กับเด็ก 5 คน จะทำงานนั้นแล้วเสร็จในเวลากี่ชั่วโมง

( .

วิธีทำ      ให้ ผู้ใหญ่หนึ่งคนทำงานได้ในหนึ่งชั่วโมง = x แรง

                ให้ เด็กหนึ่งคนทำงานได้ในหนึ่งชั่วโมง = y แรง

.

                เขียนสมการจากที่โจทย์กำหนดมาให้

                                งานที่ผู้ใหญ่ 9 คน กับเด็ก 6 คน ทำงานเสร็จใน 2 ชั่วโมงต้องใช้แรงทั้งสิ้น   2(9x+6y) __________ (1)

งานที่ผู้ใหญ่ 5 คน กับเด็ก 7 คน ทำงานเสร็จใน 3 ชั่วโมงต้องใช้แรงทั้งสิ้น   3(5x+7y) __________ (2)

                                เนื่องมาจากงานดังกล่าวเป็นงานชิ้นเดียวกัน ดังนั้น (1) = (2)

                                                2(9x+6y)     =     3(5x+7y)

                                                18x+12y      =     15x+21y

                                                18x–15X      =     21y–12y

                                                          3x      =       9y

                                                            x      =     3y

                                แสดงได้ว่าแรงผู้ใหญ่หนึ่งคน ทำงานได้เท่ากับแรงเด็ก 3 คน

.

                นำ x = 3y ไปแทนค่าใน (1) ;   2[9(3y)+6y]  =  2[27y+6y]  =  2(33y)  =  66y

                เพราะฉะนั้น จะได้ว่า งานชิ้นนี้ ต้องใช้แรงทั้งสิ้น = 66y

.

                ซึ่งจากที่โจทย์ถาม ถ้าผู้ใหญ่ 2 คน กับเด็ก 5 คน จะทำงานนี้แล้วเสร็จในเวลากี่ชั่วโมง

                                เราทราบว่าใน 1 ชั่วโมง ผู้ใหญ่ 2 คน กับเด็ก 5 คน จะทำงานได้แรงทั้งสิ้น   =  2x+5y

                                                (แทนค่า  x=3y)                                                                                   = 2(3y)+5y

                                                                                                                                                             = 11y
.

                                เพราะฉะนั้น ผู้ใหญ่ 2 คน กับเด็ก 5 คน จะทำงานนี้แล้วเสร็จในเวลา
.

                                                           แรงงานทั้งสิ้น                        66y
                                               ----------------------------------------   =   -------   =   6 ชั่วโมง
                                                แรง ผู้ใหญ่ 2 คน กับเด็ก 5 คน            11y

.

.

.

(ม.3) นักทัศนาจรกลุ่มหนึ่งเฉลี่ยกันออกค่ารถ ปรากฏว่า ถ้าคนน้อยลง 12 คน จะต้องออกเงินเพิ่มคนละ 18 บาท แต่ถ้ามีคนเพิ่มขึ้น 8 คน จะออกเงินลดลงคนละ 6 บาท จงหาว่า ค่าเช่ารถเป็นเงินกี่บาท

 .

วิธีทำ      ให้ จำนวนคน = x คน

                ให้ ค่ารถเฉลี่ยต่อคน = y บาท

                เพราะฉะนั้น ค่าเช่ารถ = จำนวนคน x ค่ารถเฉลี่ยต่อคน = xy บาท

 .

                นำข้อความจากโจทย์มาตั้งเป็นสมการ

                                (x–12) . (y+18) = xy     __________ (1)

                                (x+8) . (y–6) = xy          __________ (2)

 .

                จาก (1) คูณแบบแจกแจงจะได้ ;   xy+18x–12y–216 = xy

       18x–12y = 216     __________ (3)
.

                จาก (2) คูณแบบแจกแจงจะได้ ;    xy–6x+8y–48 = xy

    –6x+8y = 48        

                นำ 3 คูณตลอดสมการ ;                       –18x+24y = 144     __________ (4)

 .

                (3)+(4) ; 18x–12y–18x+24y = 216+144

                                                           12y = 360

                                                                y = 30

 .

                แทนค่า y = 30 ใน (3) ;   18x–12(30) = 216

                                                              18x–360 = 216

                                                                        18x = 576

                                                                            x = 32

 .

                เพราะฉนั้น   จำนวนคน = 32 คน

                                      ค่ารถเฉลี่ยต่อคน = 30 บาท

                                      ค่าเช่ารถ = จำนวนคน x ค่ารถเฉลี่ยต่อคน = 32x30 = 960 บาท     

 .

 .

.